위그너 정리

{\langle\Phi|\Phi\rangle}

여기서 $P\_\{\backslash Phi\}$는 선 $\backslash underline\{\backslash Phi\}$에 대한 직교 투영이다. $\backslash Phi\; \backslash in\; \backslash underline\{\backslash Psi\}$이거나 $P\_\{\backslash Phi\}\; =\; P\_\{\backslash Psi\}$이면 $\backslash Phi$는 $\backslash underline\{\backslash Psi\}$의 '''대표자'''이다.

모든 광선의 공간은 '''광선 공간'''이라고 하는 사영 힐베르트 공간이다. 이는 동치 관계$\backslash sim$를 사용하여 다음과 같이 정의할 수 있다.

:$\backslash Psi\; \backslash sim\backslash Phi\; \backslash Leftrightarrow\; \backslash Psi\; =\; \backslash lambda\backslash Phi,\backslash quad\; \backslash lambda\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}\; \backslash setminus\; \backslash \{0\backslash \},$

''광선 공간''은 몫 집합으로 정의된다.

:$\backslash mathbf\{P\}(H)\; =\; (H\; \backslash setminus\; \backslash \{0\backslash \})\; /\; \{\backslash sim\}$.

단위 광선 공간은 광선 공간과 동등하며, 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash mathbf\{P\}(H)\; =\; SH\; /\; \backslash sim$.

광선 공간의 또 다른 정의는 ''순수 상태 광선 공간''으로, 랭크 1의 직교 투영이다.

:$\backslash mathbf\{P\}(H)\; =\; \backslash \{P\backslash in\; B(H)\; \backslash mid\; P^2\; =\; P\; =\; P^\backslash dagger,\; \backslash mathbb\{tr\}(P)\; =\; 1\; \backslash \}$.

$H$가 차원인 경우, $\backslash mathbf\{P\}(H\_n)$는 복소 사영 공간 $\backslash mathbb\{C\}\backslash mathbf\{P\}^\{n-1\}=\backslash mathbf\{P\}(\backslash mathbb\{C\}^n)$와 동형이다. 예를 들어

:$\backslash lambda\_1\; |+\backslash rangle\; +\; \backslash lambda\_2\; |-\backslash rangle,\; \backslash quad\; (\backslash lambda\_1,\; \backslash lambda\_2)\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}^2\; \backslash setminus\; \backslash \{0\backslash \}$

는 블로흐 구의 점을 생성하며, 이는 리만 구$\backslash mathbb\{C\}\backslash mathbf\{P\}^1$와 동형이다.

광선 공간은 벡터 공간이 ''아니라'' 차원이 인 벡터 공간의 벡터 선 (차원이 1인 벡터 부분 공간)의 집합이다.

힐베르트 공간 구조는 광선 공간에 추가 구조를 정의한다. '''광선 상관''' (또는 '''광선 곱''' )은 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash underline\{\backslash Psi\}\; \backslash cdot\; \backslash underline\{\backslash Phi\}\; =\; \backslash frac\{\backslash left|\backslash left\backslash langle\backslash Psi,\; \backslash Phi\backslash right\backslash rangle\backslash right|\}\{\backslash |\backslash Phi\backslash |\backslash |\backslash Psi\backslash |\}$

= \sqrt{\mathrm{tr}(P_{\Psi}P_{\Phi})},

여기서 $\backslash langle\backslash ,\; ,\; \backslash ,\; \backslash rangle$는 힐베르트 공간의 내적이고, $\backslash Psi,\; \backslash Phi$는 $\backslash underline\{\backslash Phi\}$ 및 $\backslash underline\{\backslash Psi\}$의 대표자이다.

본 규칙에 따르면, 양자역학에서 힐베르트 공간의 ''정규화된'' 상태 $\backslash Psi$와 $\backslash Phi$ 사이의 전이 확률은 다음과 같다.

:$P(\backslash Psi\; \backslash rightarrow\; \backslash Phi)\; =\; |\backslash langle\backslash Psi,\; \backslash Phi\backslash rangle|^2\; =\; \backslash left(\backslash underline\{\backslash Psi\}\; \backslash cdot\; \backslash underline\{\backslash Phi\}\backslash right)^2$

광선 공간에 본의 규칙을 적용하면 다음과 같다.

:$P(\backslash underline\{\backslash Psi\}\; \backslash to\; \backslash underline\{\backslash Phi\})\; :=\; \backslash left(\backslash underline\{\backslash Psi\}\; \backslash cdot\; \backslash underline\{\backslash Phi\}\backslash right)^2.$

기하학적으로, $\backslash underline\{\backslash Phi\}$와 $\backslash underline\{\backslash Psi\}$ 선 사이의 $\backslash theta$ 각도를 $0\; \backslash le\; \backslash theta\backslash le\; \backslash pi/2$로 정의할 수 있으며, $\backslash cos(\backslash theta)\; =\; (\backslash underline\{\backslash Psi\}\; \backslash cdot\; \backslash underline\{\backslash Phi\})$이다. 이 각도는 푸비니-스터디 계량에서 비롯된 광선 공간에 대한 계량 구조를 정의한다.

4. 2. 대칭 변환

대략적으로 말해서, 대칭 변환은 "아무 일도 일어나지 않는" 변화 또는 가능한 실험의 결과에 영향을 미치지 않는 "우리의 관점의 변화"이다.^[5] 예를 들어, 균질 환경에서 시스템을 이동시키는 것은 시스템에 대한 실험 결과에 질적인 영향을 미치지 않아야 한다. 마찬가지로 등방성 환경에서 시스템을 회전시키는 경우에도 마찬가지이다. 이는 수학적으로 동등한 수동적 변환, 즉 단순히 좌표를 변경하고 시스템을 그대로 두는 경우에 더욱 명확해진다. 일반적으로 정의역과 공역 힐베르트 공간은 동일하다. 예외적인 경우는 (비상대론적 이론에서) 전하 켤레 변환을 받는 전자 상태의 힐베르트 공간이다. 이 경우 전자 상태는 양전자 상태의 힐베르트 공간으로 매핑되며, 그 반대의 경우도 마찬가지이다. 그러나 이는 대칭이 힐베르트 공간의 직접 합에 작용함을 의미한다.

물리적 시스템의 변환은 상태의 변환이며, 따라서 수학적으로 힐베르트 공간이 아닌 힐베르트 공간의 선속 공간의 변환이다. 따라서 양자역학에서 물리적 시스템의 변환은 전단사 '''선속 변환''' $T$을 발생시킨다.

:$\backslash begin\{align\}$

T: \mathbf{P}(H) &\to \mathbf{P}(H)\\

\underline{\Psi} &\mapsto T\underline{\Psi}.\\

\end{align}



두 개의 물리적 변환의 합성 및 물리적 변환의 반전도 물리적 변환이므로, 그렇게 얻은 모든 선속 변환의 집합은 $\backslash mathbf\{P\}(H)$에 작용하는 군이다. 그러나 $\backslash mathbf\{P\}(H)$의 모든 전단사 함수가 대칭 변환으로 허용되는 것은 아니다. 물리적 변환은 보른 규칙을 보존해야 한다.

물리적 변환의 경우, 변환된 시스템과 변환되지 않은 시스템의 전이 확률이 보존되어야 한다.

:$P(\backslash underline\{\backslash Psi\}\; \backslash rightarrow\; \backslash underline\{\backslash Phi\})\; =\; \backslash left(\backslash underline\{\backslash Psi\}\; \backslash cdot\; \backslash underline\{\backslash Phi\}\backslash right)^2\; =\; \backslash left(T\backslash underline\{\backslash Psi\}\; \backslash cdot\; T\backslash underline\{\backslash Phi\}\backslash right)^2\; =\; P\backslash left(T\backslash Psi\; \backslash rightarrow\; T\backslash Phi\; \backslash right)$

전단사 선속 변환 $\backslash mathbf\{P\}(H)\; \backslash to\; \backslash mathbf\{P\}(H)$는 다음과 같은 경우 '''대칭 변환'''이라고 한다.:$T\; \backslash underline\{\backslash Psi\}\; \backslash cdot\; T\backslash underline\{\backslash Phi\}\; =\; \backslash underline\{\backslash Psi\}\; \backslash cdot\; \backslash underline\{\backslash Phi\},\backslash quad\; \backslash forall\; \backslash underline\backslash Psi,\; \backslash underline\backslash Phi\; \backslash in\; \backslash mathbf\{P\}(H)$. 기하학적 해석은 대칭 변환이 선속 공간의 등거리 변환이라는 것이다.

정의를 사용하여 확인할 수 있는 대칭 변환에 대한 몇 가지 사실은 다음과 같다.

• 두 개의 대칭 변환의 곱, 즉 연속적으로 적용된 두 개의 대칭 변환은 대칭 변환이다.
• 모든 대칭 변환은 역변환을 가진다.
• 항등 변환은 대칭 변환이다.
• 대칭 변환의 곱셈은 결합적이다.

따라서 대칭 변환의 집합은 시스템의 '''대칭군'''인 군을 형성한다. 시스템의 대칭군에서 자주 발생하는 몇 가지 중요한 부분군은 다음의 표현이다.

• 대칭군과 그 부분군. 이것은 입자 레이블의 교환에 중요하다.
• 푸앵카레 군. 이는 시공간의 기본적인 대칭성을 인코딩한다. (''NB: 대칭성은 위에 주어진 시스템을 설명하는 선속 공간에 대한 맵으로 정의되며, 시공간의 대칭성 개념은 정의되지 않았고 명확하지 않다.'')
• SU(2) 및 SU(3)과 같은 내부 대칭군. 이는 아이소스핀 및 양자역학적 시스템에 특유한 색전하와 같은 소위 내부 대칭을 설명한다.

이러한 군은 시스템의 대칭군이라고도 한다.

양자역학과 양자장론에서는 하나의 입자, 여러 입자, 장의 양자 상태는 복소 힐베르트 공간 내의 벡터(켓)로 표시된다. 임의의 대칭 연산자, 예를 들어, "모든 입자나 장을 5초 동안 앞으로 진행" 또는 "로렌츠 변환 모든 입자와 장을 x 방향으로 5 m/s로 이동" 등은 힐베르트 공간 위의 연산자 T에 대응한다. 이 연산자 T는 전단사여야 한다. 왜냐하면 모든 양자 상태는 서로 변환된 대응하는 상태가 고유해야 하기 때문이다. 또한, 초기 상태가 $y$계가 상태 $x$일 확률은 $|\backslash langle\; x,y\backslash rangle|^2$로 주어진다. T는 대칭 연산자이므로 초기 상태가 $Ty$의 계가 상태 $Tx$일 확률은 같아야 한다. 따라서 $|\backslash langle\; Tx,Ty\backslash rangle|^2=|\backslash langle\; x,y\backslash rangle|^2$이다. 이로부터 T는 위그너 정리에 따른 가정을 따른다.

이처럼, 위그너 정리에 따라 T는 유니타리이거나 반유니타리이다. 위의 두 예(시간 이동과 로렌츠 변환)에서는 T는 유니타리 연산자에 대응한다. 시간 반전 대칭성 연산자는 반유니타리 대칭 연산자의 유명한 예이다.

4. 3. 위그너 정리의 표현

힐베르트 공간 사이의 유니타리 변환 $U:H\; \backslash to\; K$가 주어지면, 다음과 같이 정의한다.

:$\backslash begin\{align\}$

T_U: \mathbf{P}(H) &\to \mathbf{P}(K) \\

\underline{\Psi} &\mapsto \underline{U\Psi}\\

\end{align}

이것은 대칭 변환인데, 그 이유는 다음과 같다.

:$$$$

T_U\underline{\Psi} \cdot T_U\underline{\Phi} =

\frac{ \left|\langle U\Psi, U\Phi \rangle\right|}{\|U\Psi\|\|U\Phi\|} = \frac{\left|\langle\Psi, \Phi\rangle\right|}{\|\Psi\|\|\Phi\|}

= \underline{\Psi} \cdot \underline{\Phi}.



마찬가지로 힐베르트 공간 간의 반유니타리 변환은 대칭 변환을 유도한다. 힐베르트 공간 사이의 변환 $U:H\; \backslash to\; K$가 광선 공간 사이의 변환 $T:\backslash mathbf\{P\}(H)\; \backslash to\; \backslash mathbf\{P\}(K)$와 호환된다는 것은 $T\; =\; T\_U$이거나, 다음이 성립하는 것과 같다.

:$U\backslash Psi\; \backslash in\; T\; \backslash underline\; \backslash Psi$

모든 $\backslash Psi\; \backslash in\; H\; \backslash setminus\; \backslash \{0\backslash \}$에 대해.^[6]

위그너 정리는 위의 역을 명시한다.^[7] 즉, 대칭 변환이 있다면, 이와 호환되는 유니타리 또는 반유니타리 변환이 존재한다는 것이다.
정리(위그너 정리, 1931): 만약 $H$와 $K$가 힐베르트 공간이고,

$$T:\backslash mathbf\{P\}(H)\; \backslash to\; \backslash mathbf\{P\}(K)$$가 대칭 변환이라면, $T$와 호환되는 유니타리 또는 반유니타리 변환 $V:\; H\; \backslash to\; K$가 존재한다. 만약 $\backslash dim(H)\; \backslash ge\; 2$라면, $V$는 유니타리 또는 반유니타리이다. 만약 $\backslash dim(H)\; =\; 1$ (그리고 $\backslash mathbf\{P\}(H)$와 $\backslash mathbf\{P\}(K)$가 단일 점으로 구성된다면), 모든 유니타리 변환 $U\; :\; H\; \backslash to\; K$와 모든 반유니타리 변환 $A:\; H\; \backslash to\; K$는 $T$와 호환된다. 만약 $V\_1$과 $V\_2$가 모두 $T$와 호환된다면, 어떤 $\backslash alpha\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$에 대해 $V\_1\; =\; e^\{i\backslash alpha\}V\_2$이다.^[8]

반유니타리 변환은 시간 반전 대칭성과 관련이 있다.^[6]
참고 1:$H$에 대한 표현의 유일성 정도를 명시한다. 예를 들어

:$V\backslash Psi\; =\; Ue^\{i\backslash alpha(\backslash Psi)\}\backslash Psi,\; \backslash alpha(\backslash Psi)\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\},\; \backslash Psi\; \backslash in\; H\; \backslash quad\; (\backslash text\{만약\; \}\; \backslash alpha(\backslash Psi)\; \backslash text\{가\; 상수일\; 경우에만\; 성립\})$

와 같은 식이 허용될것 같지만, $\backslash langle\; \backslash Psi,\; \backslash Phi\; \backslash rangle\; =\; 0$일 때 $\backslash alpha(\backslash Psi)\; \backslash ne\; \backslash alpha(\backslash Phi)$이면, 이 정리에 따르면 이는 그렇지 않다.^[7][8]
참고 2:$T$가 유니타리 연산자 또는 반유니타리 연산자로 표현되어야 하는지는 위상에 의해 결정된다.

4. 4. 표현과 사영 표현

대칭군 G에 대해, 광선 변환 T는 f, g, h ∈ G 이고 fg = h 일 때,

:$T(f)T(g)\; =\; T(h)$

를 만족한다. 위그너 정리의 유일성 부분에서, 호환 가능한 표현 U에 대해 다음이 성립한다.^[10]

:$U(f)U(g)\; =\; \backslash omega(f,\; g)U(fg)\; =\; e^\{i\backslash xi(f,\; g)\}U(fg)$

여기서 ω(f, g)는 위상 인자이다. 함수 ω는 '''2-코사이클''' 또는 슈어 승수라고 불린다. 어떤 벡터 공간 V에 대해 위의 관계를 만족하는 맵 U: G → GL(V)는 사영 표현 또는 '''광선 표현'''이라고 불린다. 만약 ω(f, g) = 1 이면, 이는 표현이라고 불린다.

마지막 관계를 (여러 번) 곱 fgh에 적용하고 H에서의 연산자 곱셈의 알려진 결합성을 활용하면 다음을 얻는다.

:$\backslash begin\{align\}$

\omega(f, g)\omega(fg, h) &= \omega(g, h)\omega(f, gh), \\

\xi(f, g) + \xi(fg, h) &= \xi(g, h) + \xi(f, gh) \quad (\operatorname{mod} 2\pi).

\end{align}

또한 다음을 만족한다.

:$\backslash begin\{align\}$

\omega(g, e) &= \omega(e, g) = 1, \\

\xi(g, e) &= \xi(e, g) = 0 \quad (\operatorname{mod} 2\pi), \\

\omega\left(g, g^{-1}\right) &= \omega(g^{-1}, g), \\

\xi\left(g, g^{-1}\right) &= \xi(g^{-1}, g). \\

\end{align}

위상 재정의 U(g) ↦ η(g)U(g) = e^iζ(g)U(g)는 마지막 정리에 의해 허용되며, 다음을 얻는다.^[11][12]

:$\backslash begin\{align\}$

\hat{\omega}(g, h) &= \omega(g, h)\eta(g)\eta(h)\eta(gh)^{-1},\\

\hat{\xi}(g, h) &= \xi(g, h) + \zeta(g) + \zeta(h) - \zeta(gh) \quad (\operatorname{mod} 2\pi),\end{align}

여기서 모자 씌워진 양은 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash hat\{U\}(f)\backslash hat\{U\}(g)\; =\; \backslash hat\{\backslash omega\}(f,\; g)\backslash hat\{U\}(fg)\; =\; e^\{i\backslash hat\{\backslash xi\}(f,g)\}\backslash hat\{U\}(fg).$

4. 4. 1. 위상 자유도의 유용성

위상 선택의 자유는 위상 인자를 단순화하는 데 사용될 수 있다. 일부 군(반단순이고 단일 연결된 군)의 경우 위상을 완전히 제거할 수 있다.^[13] 군 코호몰로지는 위상 재정의 연구와 관련된다.

만약 G^영어가 반단순이고 단일 연결되어 있다면, ω(g, h) = 1^영어이 가능하다.^[13] 로렌츠 군과 그 부분군인 회전군 SO(3)의 경우, 사영 표현에 대해 위상을 선택하여 ω(g, h) = ± 1^영어이 될 수 있다. 각 보편 피복군인 SL(2,C)와 Spin(3)의 경우, 정리에 따르면 ω(g, h) = 1^영어을 가질 수 있다. 즉, 이는 올바른 표현이다.

위상의 재정의에 대한 연구는 군 코호몰로지를 포함한다. 위의 ω^영어의 모자 씌워진 버전과 모자 씌워지지 않은 버전으로 관련되는 두 함수는 '코호몰로지'하다고 한다. 이들은 동일한 '''두 번째 코호몰로지 클래스'''에 속한다. 즉, H²(G)^영어에서 동일한 요소로 표현된다. 여기서 H²(G)^영어는 G^영어의 '''두 번째 코호몰로지 군'''이다. H²(G)^영어의 요소가 자명한 함수 ω = 0^영어을 포함하는 경우, '자명하다'고 한다.^[12] 이 주제는 리 대수 및 리 대수 코호몰로지 수준에서도 연구할 수 있다.^[14][15]

5. 물리학적 의의

유진 위그너가 양자역학에 응용하기 위하여 1931년에 증명하였다.

물리학에서는 자연계에서 가능한 대칭을 찾고자 한다. 근본적인 대칭을 가정하면, 그 대칭을 따르는 현상만을 고려하면 되므로 이론이 더 간단하여지기 때문이다. 위그너 정리에 의하면, 양자역학에서 가능한 대칭은 "자명한" (즉 유니터리/반유니터리) 대칭밖에 없다. 따라서 임의의 대칭이 유니터리 혹은 반유니터리 변환이라고 가정하고 이론을 전개할 수 있다.

예를 들어, 고전 게이지 이론에서는 임의의 반고전적 (quasiclassical) 리 군에 대하여 게이지 이론을 만들 수 있으나, 양자 게이지 이론에서는 리군이 유니터리 또는 반유니터리 표현을 가져야 하므로, 가능한 대칭군이 가약 리 군으로 줄어든다.

6. 수정 및 일반화

위그너 정리는 순수 상태의 자기 동형 사상에 적용된다. 카디슨^[18]과 사이먼^[19]의 정리는 혼합 상태(트레이스-클래스 양의 연산자) 공간에 적용되며, 약간 다른 대칭성 개념을 사용한다.^[20][21]

참조

_[1] 간행물
_[2] 간행물
_[3] 간행물
_[4] 간행물
_[5] 간행물
_[6] 간행물
_[7] 간행물
_[8] 간행물
_[9] 간행물
_[10] 간행물
_[11] 간행물
_[12] 간행물
_[13] 간행물
_[14] 간행물
_[15] 간행물
_[16] 문서
_[17] 간행물
_[18] 논문 Transformations of states in operator theory and dynamics 1965-02-01
_[19] 서적 Studies in Mathematical Physics: Essays in Honor of Valentine Bargmann Princeton University Press 2015-03-08
_[20] 논문 Mathematical Foundations of Quantum Mechanics: An Advanced Short Course 2016-10
_[21] 웹사이트 "(Coming from Wigner's Theorem): What is a Symmetry in QFT?" https://physics.stac[...] 2023-10-18
_[22] 서적 Gruppentheorie Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig, Germany

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